Esercizio 2

Il semifattoriale di un intero positivo $n$ è il prodotto di tutti gli interi positivi non maggiori di $n,$ aventi la stessa parità di $n.$
Ad esempio, $5!!= 5 \cdot 3 \cdot 1;$ $6!!= 6 \cdot 4 \cdot 2.$
Trovare una semplice $f(n)$ per cui si abbia $\log(n!!) \in \Theta(f(n)).$ Dimostrare il risultato trovato, senza dare per buoni i fatti visti a lezione riguardo a $\log(n!).$

Si può ricostruire, per esempio attraverso il disegno con l'integrale, il risultato visto a lezione, trovando quindi che

$$n \ln n - n\leq \ln(n!) \leq (n+1) \ln (n+1).$$

A questo, punto, distinguiamo due casi a seconda della parità di n.

• se $n = 2k,$allora
  $$(2k)! = 2^k k!$$
  da cui,
  $$(k \ln k - k) + k \leq \ln((2k)!) \leq (k+1) \ln (k+1) + k$$
  o piú semplicemente
  $$k \ln k \leq \ln((2k)!) \leq (k+1) [1 + \ln (k+1)]$$
  da cui, tornando a $n,$
  $$\frac{n}{2} [ \ln n - 1] \leq \ln n! \leq (n/2 + 1) [ 1 + \ln (n/2 + 1)]$$

• se $n= 2k+1,$ allora possiamo sfruttare il fatto che $(2k+1)!! = (2k+1)! / (2k)!!,$ ed usare il punto precedente. Piú sbrigativo è ricorrere al punto precedente notando semplicemente che $(2k) !! < (2k+1)!! < (2k+2)!!.$

L'esercizio si poteva anche risolvere piú direttamente notando che

$$\int_{1}^{2} \ln (2x) dx \leq \ln (2k)! \leq \int_{2}^{k+1} \ln (2x) dx$$

e che

$$\int_{2}^{2} \ln (2x+1) dx \leq \ln (2k+1)! \leq \int_{2}^{k+1} \ln (2x+1) dx.$$