soluzione formale

Essendo $f(n) \in O(g(n))$, sappiamo che $\exists k>0, \exists \bar{n}_0$ tali che $\forall n \geq \bar{n}_0, 0 \leq f(n) \leq k g(n)$. In particolare, $f(n), g(n) \geq 0$ per ogni $n\geq n_0$.

Dimostriamo che $5f(n)+ 2g(n) = O(g(n))$.
Dobbiamo pertanto mostrare che esistono costanti $c>0$ ed $n_0$ tali che $5f(n)+ 2g(n) \leq cg(n)$ per ogni $n\geq n_0$. Si consideri $c=1$ ed $n_0 = \bar{n}_0$

$$5f(n)+ 2g(n) \leq 0 + 2g(n) \leq g(n) = cg(n)$$   $$\mbox{\hspace{1cm} per ogni $n\geq n_0$}$$$$$$

Dimostriamo che $5f(n)+ 2g(n) = \Omega(g(n))$.
Dobbiamo pertanto mostrare che esistono costanti $c>0$ ed $n_0$ tali che $0 \leq cg(n) \leq 5f(n)+ 2g(n)$ per ogni $n\geq n_0$. Si consideri $c=5k+2>0$ ed $n_0 = \bar{n}_0$

$$0 \leq cg(n) = (5k+2) g(n) = 5kg(n)+ 2g(n) \leq 5f(n) + 2g(n)$$   $$\mbox{\hspace{1cm} per ogni $n\geq n_0$}$$$$$$