Calcolo delle probabilità

Il corso di calcolo delle probabilità si propone di fornire gli elementi di base della teoria delle probabilità e delle catene di Markov a stati finiti con le loro proprietà asintotiche. Congiuntamente il corso è orientato all'acquisizione di tecniche, anche numeriche, di risoluzione di problemi concreti.

Programma del corso:

• Introduzione alla probabilità: Definizioni fondamentali di probabilità. Formulazione assiomatica della teoria. Spazio fondamentale di probabilità. Proprietà degli spazi di probabilità. Probabilità condizionata. Nozione di indipendenza.
• Spazi di probabilità uniformi: Calcolo combinatorio per il calcolo delle probabilità.
• Variabili aleatorie reali: Nozione di variabilie aleatoria (v.a.). Legge o Distribuzione di una v.a. Variabili aleatorie discrete. Densità di probabilità. Distribuzioni teoriche principali. Funzione di ripartizione. Variabili aleatorie assolutamente continue. Funzione di densità di probabilità. Distribuzioni teoriche principali. Calcolo di leggi di v.a. che sono funzioni di v.a. di legge nota.
• Variabili aleatorie multi-dimensionali: Definizione di v.a. multi-dimensionale. Densità congiunte e marginali. Indipendenza di v.a. Distribuzione condizionata. Valore atteso. Momenti, varianza e covarianza. Coefficiente di correlazione. Valore atteso condizionato.
• Funzioni generatrici e funzioni caratteristiche: Funzioni generatrici delle probabilità. Somme aleatorie. Funzioni caratteristiche e loro proprietà.
• Convergenza di successioni di variabili aleatorie: Principali nozioni di convergenza. Legge dei grandi numeri. Applicazione: la passeggiata casuale simmetrica. Teorema Limite Centrale. Approssimazione normale.
• Catene di Markov a stati finiti: Problema della rovina del giocatore. Definizione di catena di Markov. Matrice di transizione. Classificazione degli stati di una catena. Proprietà di assorbimento. Probabilità invarianti. Teorema ergodico di Markov. Proprietà di reversibilità. Algoritmo di Metropolis. Applicazione: Simulated Annealing.
• Simulazioni di v.a.: Metodo di inversione della funzione di ripartizione. Cenni ai metodi principali di generazione di v.a. con funzione di densità assegnata(*). Un esempio di applicazione del metodo di Monte-Carlo.

Libri di testo consigliati: Paolo Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, McGraw-Hill, serie di matematica. P. Baldi, R. Giuliano,L.Ladelli: Laboratorio di statistica e probabilità: problemi svolti. McGraw-Hill.

Libri consultabili in biblioteca:

1. Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli;
2. Sinai, Probability Theory, An introductory course, Springer Textbook;
3. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. I, Wiley.
4. (*) I.Mitrani: Simulation Techniques for Discrete Event Systems. Cambridge University Press.