Diario del Corso di Didattica dell'Analisi per la Scuola di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario -
Università della Basilicata |
Il minicorso di Didattica dell'Analisi Matematica è il primo
dei due sottomoduli che costituiscono il corso di Didattica della Matematica
II per la Scuola di Specializzazione per l'Insegnamento Secondario
presso l'Università della Basilicata.
In questo ciclo di lezioni, intendo esaminare alcune situazioni didattiche
che si presentano nell'insegnamento di argomenti di analisi matematica nella
Scuola Media Superiore. Intendo anche proporre l'introduzione precoce ed
informale di strumenti propri dell'Analisi, già nei primissimi
anni di corso: in questo modo, è possibile semplificare anche
di molto la risoluzione di problemi che spesso gli studenti trovano ostici,
senza una perdita significativa di rigore matematico.
Verso la conclusione del corso, intendo anche discutere l'uso di strumenti
informatici e multimediali nell'insegnamento dell'analisi e, più in
generale, nella divulgazione della matematica.
Ecco un breve elenco cronologico degli argomenti toccati
durante le lezioni:
- 15 gennaio 2002 (2 ore) Risoluzione di una disequazione
usando il teorema di esistenza degli zeri: come noto, le
disequazioni sono la "bestia nera" della maggior parte degli studenti
della scuola media superiore. Conoscendo un po' di
analisi, la risoluzione di una disequazione di uno qualunque
dei tipi che si incontrano solitamente nella scuola secondaria,
si riduce però
alla determinazione dell'insieme di continuità della
funzione corrispondente, alla ricerca dei suoi zeri, ed a testarne il
segno in un numero finito di punti. Osservo che questo
metodo di risoluzione delle disequazioni può
essere reso "plausibile" anche senza introdurre in modo formale
i numeri reali ed il concetto di continuità.
Abbiamo anche la possibilità di avvicinarci quanto vogliamo ad
una dimostrazione rigorosa:
proposta di una definizione informale di continiutà, raggiunta
per approssimazioni successive a partire dall'idea di "grafico senza
buchi". A partire da questa definizione informale, faccio vedere come
si possano dimostrare i teoremi sulla continuità di somma,
prodotto e rapporto di funzioni continue. Da questo, e dal fatto
quasi tautologico che la funzione identica f(x)=x è continua,
otteniamo che le funzioni razionali sono continue al di fuori dai punti
dove si annulla il denominatore.
- 16 gennaio 2002 (3 ore) Dimostrazione per bisezione del
teorema di esistenza degli zeri: partiamo da un semplice algoritmo
per determinare in modo approssimato un punto dove si annulla la
nostra funzione, ed arriviamo ad un risultato di esistenza. Ruolo
della completezza della retta reale: come rendere plausibile la
convergenza di una successione monotona senza parlare di assioma di
Dedekind o di estremo superiore.
Breve critica del modo in cui si introducono solitamente i numeri
reali nella scuola secondaria: si usa osservare che i razionali non bastano
perché la radice di 2 non è razionale, e se ne deduce la
necessità di un qualche assioma di completezza.
Raramente,
però, ci si pone il problema di vedere se nel nuovo insieme
numerico la radice quadrata esista!
Osserviamo che, invece, il teorema di esistenza degli zeri ci "regala"
immediatamente l'esistenza non solo delle radici, ma anche delle
inverse delle funzioni trascendenti elementari (a patto che se ne sia
dedotta la continuità)...
- 22 gennaio 2002 (2 ore) Discussione sugli argomenti
introdotti la scorsa settimana: gli
specializzandi che seguono il corso si sono triplicati rispetto alla
scorsa settimana grazie ad un piccolo disguido con
l'orario: questo ci impone un riepilogo delle precedenti discussioni.
Ne approfitto per suggerire come utilizzare alcune delle
idee legate alla continuità nella didattica del primo biennio
della scuola superiore.
- 23 gennaio 2002 (3 ore) Introduzione informale ai concetti
di "pendenza di un grafico" ed allo studio del grafico di semplici
funzioni: osserviamo come il concetto di "velocità media",
ed anche quello di "pendenza media" di un grafico, siano vicini
all'esperienza quotidiana (si pensi ai cartelli di pericolo che
accompagnano una strada in ripida discesa!).
Da questo ai concetti (informali)
di velocità istantanea e di "pendenza del grafico in un punto",
il passo è breve (si veda anche la
simulazione java
in queste pagine). Mostro come,
anche in assenza di ogni formalizzazione
del concetto di limite, lo studio di semplici funzioni e la risoluzione
di semplici problemi di massimo e minimo sia un obiettivo raggiungibile.
Questo apre un'interessante discussione con gli specializzandi:
l'introduzione precoce e non codificata di strumenti analitici non
rischia forse di nascondere le difficoltà e di "illudere"
quegli studenti che seguiranno poi corsi di livello universitario?
La mia opinione è che questo pericolo sia tutto sommato limitato,
e possa essere ulteriormente ridotto grazie alla periodica ripresa ed
al costante affinamento delle idee apprese...
Concludo la lezione parlando di un paio di maniere equivalenti di
introdurre il concetto di retta tangente: essa può
essere vista anche come limite di
ingrandimenti del grafico, o come
la "retta di migliore approssimazione" nel senso del teorema di Taylor
con resto di Peano. Vediamo anche come si possa
introdurre in modo elementare
il concetto di
convessità di una funzione.
- 29 gennaio 2002 (2 ore) Introduzione alle equazioni
differenziali ordinarie: elenchiamo alcune semplici equazioni
differenziali del primo ordine che sorgono da problemi "reali":
decadimento radioattivo, interesse composto, riproduzione di una
colonia di batteri (malthusiana e con correzione logistica).
Interpretazione geometrica di un'equazione differenziale come "campo
di direzioni nel piano xt", e delle sue soluzioni come curve
ovunque tangenti a tale campo (si veda anche una simulazione
interattiva on-line. Richiamo del
teorema di esistenza e unicità locale per il problema
di Cauchy x'(t)=f(t,x(t)), x(t_0)=x_0 quando la funzione a
secondo membro dell'equazione sia continua e con derivata parziale
rispetto a x continua. Richiamo del teorema di esistenza
locale di Peano, valido quando la funzione f(t,x) sia solo
continua. Cenni su una dimostrazione che usa le spezzate di Eulero
ed il teorema di Ascoli-Arzelà (vedi anche la
dispensina presente in queste pagine).
Equazioni lineari del primo ordine ed a variabili separabili: tecnica
di soluzione.
- 30 gennaio 2002 (3 ore) Studio qualitativo delle soluzioni
di semplici equazioni differenziali del primo ordine:
semplici esempi che mostrano come il teorema di esistenza possa
essere, in generale, solo locale, e come l'unicità venga a
mancare se il secondo membro dell'equazione è solo continuo.
Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione ordinaria del
secondo ordine senza una sua soluzione esplicita. Discussione del
caso particolarmente semplice ed istruttivo delle equazioni autonome.
Equazioni lineari del secondo ordine: Seconda legge della
dinamica ed equazione
dell'oscillatore armonico, eventualmente smorzato e/o forzato.
Estensione del risultato
di esistenza e unicità ai sistemi di equazioni del primo
ordine, e quindi al problema di Cauchy per equazioni del II
ordine. Il caso delle equazioni lineari omogenee: mostriamo
facilmente come, date due soluzioni che non siano multiple l'una
dell'altra, si possano trovare tutte le altre come combinazione
lineare di queste. Equazioni omogenee a coefficienti costanti:
equazione caratteristica come "risultato" della ricerca di soluzioni
del tipo x(t)=exp(kt), ricerca che ci viene suggerita da
quanto troviamo per le equazioni del primo ordine. Caso di radici
reali e distinte, e di radici reali e coincidenti.
Caso di due radici complesse e coniugate: introduciamo l'esponenziale
complesso (tramite la sua "brutale" definizione), e mostriamo che
per esso valgono ancora le proprietà delle potenze.
Animata discussione con gli specializzandi sulla "ragionevolezza"
o meno dell'introduzione di questa entità matematica nel
contesto della didattica della scuola media superiore.
- 6 febbraio 2002 (3 ore) Equazioni lineari a
coefficienti costanti non omogenee: struttura delle
soluzioni. Metodo "degli annichilatori" per determinare
una soluzione particolare nel caso di un termine noto
che annulli
un operatore lineare a coefficienti costanti. Esempio:
oscillatore armonico forzato, con o senza smorzamento.
Introduzione elementare al concetto di limite:
come già osservato per la continuità, a mio avviso
una definizione formalizzata di limite può essere
posposta od anche omessa. Quel che serve è un'idea
intuitiva, accompagnata dal teorema dei due carabinieri e
dai risultati elementari sull'algebra dei limiti. Mostro come
in questo modo si possano recuperare gran parte dei limiti
fondamentali. Osservo come un "cambio di variabili" nel
calcolo dei limiti vada condotto con una certa accortezza:
possibili problemi nella valutazione del limite di una funzione
composta. Giustificazione euristica del teorema di l'Hopital...
e sua corretta enunciazione. Esempio dei rischi che si corrono
quando si passa al limite "a rate" in un'espressione
più o meno complicata...
Per chi ritenga che sia
comunque necessario somministrare subito
ai discenti la definizione
rigorosa di limite, segnalo
un'animazione java da me
realizzata che tenta di chiarirne visivamente
il significato..
Concludiamo con un piccolo risultato sfizioso:
verifichiamo la proprietà dei valori
intermedi per la derivata (anche discontinua) di una
funzione su un intervallo.
Presento qui alcune pagine interattive, contenenti
semplici applicazioni java che
possono contribuire ad introdurre in modo visivamente efficace alcune parti della teoria.
|
