Diario del Corso di Analisi Matematica I (annuale)
Corso di Laurea in Informatica -
Università della Basilicata |
- 19/10/2000 (2 ore): Insiemi N, Z, Q, R.
Rappresentazione decimale (e decimale binaria) dei numeri reali. Assioma di
completezza. Maggioranti. Superiore limitatezza. Estremo superiore:
concetto intuitivo e definizione formale.
- 24/10/2000 (1 ora): Caratterizzazione dell'estremo superiore.
Principio di induzione.
- 25/10/2000 (2 ore): Semplici dimostrazioni per induzione (somma di
una progressione aritmetica o geometrica, disuguaglianza di Bernoulli).
Definizioni e calcoli ricorsivi. Concetto intuitivo di funzione. Grafici.
Esempi.
- 26/10/2000 (2 ore): Funzioni reali crescenti e decrescenti. Funzioni
iniettive e suriettive. Grafici vari. Immagine di una funzione. Funzione
inversa: definizione ed esempi. Potenze ad esponente intero e razionale.
- 31/10/2000 (1 ora): Funzione potenza e funzione esponenziale:
definizione, principali proprietà e grafici.
- 7/11/2000 (1 ora): Funzione logaritmo. Misura degli angoli e
definizione delle funzioni trigonometriche elementari.
- 8/11/2000 (1 ora): Grafici delle funzioni trigonometriche
elementari. Principali formule. Studio della funzione
sin(x)/x per piccoli angoli positivi: è compresa tra
cos(x) e 1.
- 9/11/2000 (2 ore): Comportamento della funzione sin(x)/x
per x vicino a 0(*). Concetto intuitivo di limite.
Limite infinito ed all'infinito, limite destro e sinistro. Esempi ed
esercizi. Definizione formale di limite. Teorema dei carabinieri.
Limite della somma e del prodotto. Due limiti fondamentali (di
sin(x)/x in 0, e di (1+1/x)^x all'infinito).
- 14/11/2000 (2 ore): Limite del rapporto. Forme indeterminate.
Limiti di funzioni non ovunque definite, punti di accumulazione di un
insieme. Calcolo di alcuni limiti fondamentali ((ex-1)/x
e log(1+x)/x in 0, log(x)/xb e
ax/xb all'infinito (a>1, b>0).
Qualche esempio ed esercizio.
- 16/11/2000 (2 ore): Successioni e loro limiti. Una successione
monotona (crescente o decrescente) ammette limite. Esempi.
Funzioni continue. Classificazione dei tipi di discontinuità.
Teorema di esistenza degli zeri(*). Applicazione: un'equazione algebrica
di grado dispari possiede almeno una soluzione reale(*). Idea della
dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri.
- 21/11/2000 (1 ora): Dimostrazione del teorema di esistenza degli
zeri. Teorema di Weierstrass: enunciato ed esempi.
- 22/11/2000 (2 ore): Teorema dei valori intermedi(*).
Invertibilità di
una funzione strettamente monotona e continua definita in un intervallo:
l'inversa esiste ed è continua. Continuità delle
funzioni elementari. Introduzione al problema delle tangenti.
- 23/11/2000 (2 ore): Retta tangente al grafico di una funzione come
limite delle rette secanti. Derivate. Significato geometrico delle
derivate. Derivata come tasso istantaneo di incremento e come
velocità istantanea. Esempi. Una funzione derivabile in un punto
è continua. Derivata di somma, prodotto e rapporto(*).
- 28/11/2000 (3 ore): Derivate delle funzioni elementari. Derivata
della funzione composta e della funzione inversa. Applicazioni. Principio
di Fermat(*). Studio del grafico di alcune semplici funzioni.
- 29/11/2000 (2 ore): Teoremi di Rolle(*) e di Lagrange(*).
Conseguenze:
studio della monotonia (crescenza e decrescenza) di una funzione,
una funzione con derivata identicamente nulla su un intervallo è
costante. Convessità e concavità di una funzione derivabile.
Studio della convessità tramite la crescenza della derivata prima
(e tramite il segno della derivata seconda).
- 30/11/2000 (2 ore): Regola di l'Hopital. Ricerca degli asintoti
di una funzione. Esercizi sui limiti e sullo studio di funzioni.
- 5/12/2000 (1 ora): Approssimazione di una funzione attorno a un
punto mediante costanti, funzioni lineari, polinomi: euristica dei
polinomi di Taylor.
- 6/12/2000 (2 ore): Teorema di Taylor con resto di Peano(*) (con
dimostrazione) e di Lagrange (solo enunciato). Applicazione: studio dei
punti di massimo e minimo tramite la derivata seconda. Polinomi di
Taylor di ex, sin(x) e cos(x) (e loro
convergenza alla funzione).
- 7/12/2000 (2 ore): Esercizi di ricapitolazione. Cenni sulle
serie di Taylor. Calcolo dell'area di una figura curvilinea come limite
delle aree di figure poligonali inscritte e circoscritte.
- 13/12/2000 (2 ore): Funzioni a scala e loro integrale.
Proprietà elementari dell'integrale per le funzioni a scala.
Integrale superiore ed inferiore nel senso di Riemann. Funzioni
integrabili: definizione e caratterizzazione.
- 14/12/2000 (2 ore): Proprietà elementari dell'integrale.
Integrabilità delle funzione continue (solo idea euristica, senza
dimostrazione). Teorema fondamentale del calcolo integrale(*): enunciato ed
esempi di calcolo di aree.
- 20/12/2000 (2 ore): Teoremi della media integrale e loro
interpretazione geometrica. Dimostrazione del teorema fondamentale del
calcolo integrale. Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale.
- 9/1/2001 (1 ora): Integrale indefinito. Formula di integrazione per
parti ed esempi di applicazione.
- 10/1/2001 (2 ore): Formula di integrazione per sostituzione(*).
Integrali impropri (o integrali in senso generalizzato): definizione ed
esempi. Principio del confronto.
- 11/1/2001 (2 ore): Principio del confronto per integrali impropri
con funzione integranda di segno qualunque(*). Esempio di una funzione
integrabile in senso improprio il cui valore assoluto ha integrale
divergente. Introduzione alle equazioni differenziali del primo ordine:
decadimento di una sostanza radioattiva.
- 16/1/2001 (1 ora): Problema di Cauchy per un'equazione
differenziale del primo ordine. Enunciato del teorema di esistenza e
unicità locale. Esempi.
- 17/1/2001 (2 ore): Equazioni a variabili separabili. Equazioni
lineari del primo ordine e loro soluzione generale. Equazioni differenziali
lineari a coefficienti costanti del secondo ordine: un esempio dalla
fisica, equazioni omogenee, equazione caratteristica.
- 18/1/2001 (3 ore): Cenni sui numeri complessi.
Risoluzione di equazioni lineari omogenee del
secondo ordine a coefficienti costanti. Equazioni lineari a coefficienti
costanti non omogenee, con secondo membro del tipo
P(x)eax. Esempi ed esercizi.
- 23/1/2001 (2 ore): Equazioni non omogenee con secondo membro del
tipo P(x)eaxsin(bx)+Q(x)eaxcos(bx).
Metodo della variazione delle costanti. Esempi ed esercizi.
- 24/1/2001 (1 ora): Funzioni di due variabili e loro grafico.
Derivate parziali. La derivabilità parziale non implica la
continuità. Definizione di piano tangente: differenziabilità
di una funzione di due variabili in un punto.
- 25/1/2001 (2 ore): Un funzione differenziabile è continua
e derivabile parzialmente. Teorema del differenziale totale.
|
