Poligono di minimo perimetro assegnata l'area.


L'applet in questa pagina illustra il problema isoperimetrico per i poligoni piani con un fissato numero di lati: precisamente, tra tutti i poligoni di n lati che racchiudono una certa area assegnata A, ci chiediamo qual è quello di perimetro minimo.

E' noto che la soluzione è data dal poligono regolare di n lati e area A: l'applet vuole rendere visibile questo fatto.

L'utente è invitato a disegnare un poligono a suo piacimento, cliccando con il mouse dove desidera mettere i vertici (nell'ordine e in senso antiorario). Non è necessario, alla fine, cliccare nuovamente sul primo vertice: a chiudere il poligono ci penserà da solo il programma.

Quando si è disegnato il poligono, si può premere il pulsante "Ottimizza!": il programma farà evolvere la figura, senza cambiare l'area racchiusa, in modo da minimizzarne il perimetro. Si vedrà quindi il poligono modificarsi fino a diventare regolare (cosa resa visibile anche dagli istogrammi degli angoli e delle lunghezze dei lati: quando l'evoluzione si sarà stabilizzata, entrambi gli istogrammi saranno piatti ed avremo un poligono con lati ed angoli uguali!) Lo strumento simile ad un sismografo in basso a destra nell'applet, evidenzia la diminuzione del perimetro man mano che il poligono evolve: la riga rossa mostra il valore ottimale del perimetro stesso, mentre il pennino scrivente traccia in blu il perimetro attuale.

Il pulsante "Lati x2" permette di raddoppiare il numero di lati del poligono corrente senza cambiare l'area racchiusa. Si tenga però presente che l'applet gestisce poligoni con un massimo di 100 lati: se il poligono iniziale supera i 50 lati, il pulsante non funzionerà. Il bottone "Nuovo Poligono" permette invece di ripartire con un nuovo disegno.

Nota scritta in caratteri illeggibili: E' piuttosto forte la tentazione di NON seguire i saggi consigli dell'autore, e di tracciare un poligono intrecciato, oppure con i vertici percorsi in senso orario. Oppure si può partire da un poligono altamente non convesso, per esempio una figura a spirale... In tutti questi casi non succede nulla di male, ed è anzi piuttosto divertente vedere cosa succede. Vale però la pena di specificare qual è la regola secondo la quale l'applet calcola le aree, altrimenti alcune cose potrebbero sembrare strane! Le aree posseggono sia un segno che una molteplicità: in un poligono intrecciato, parti di superficie le cui frontiere sono percorse in direzione opposta (una in senso antiorario, l'altra in senso orario: l'ordine è quello in cui si sono specificati i vertici) vengono contate con segno opposto. Analogamente, ci possono essere porzioni di superficie che si sovrappongono, con le frontiere percorse nello stesso senso (succede spesso nell'evoluzione di poligoni "molto non-convessi"): in questo caso, le aree si sommano... La ragione matematica di questo risiede nel fatto che l'area viene calcolata con l'equivalente discreto di un integrale di linea lungo la frontiera del poligono (usando la formula di Gauss-Green).